等差数列の和

仕事で必要になったので、久々に使ってみました。
（最終的にいらなくなったけど）
初項a、公差d、項数n の和を Snとすると、

a1 = a
a2 = a + d
a3 = a + d + d
a4 = a + d + d + d
...
an = a + d + d + ... + d

なんで、総和Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an は、

Sn =  a + (  a + d ) + (  a + 2d ) + (  a + 3d ) + ... + ( an - d ) + an

Snは、逆から足すと、

Sn = an + ( an - d ) + ( an - 2d ) + ( an - 3d ) + ... + (  a + d ) +  a

でもあるので、これらを足すと、

2Sn = ( a + an ) + ( a + an ) + ( a + an ) + ( a + an )
+ ... * ( a + an ) + ( a + an )
= n * ( a + an )
= n * { a + a + ( n - 1 ) * d }
= n * { 2a + ( n - 1 ) * d }

よって、

Sn = n * { 2a + ( n - 1 ) * d } / 2

となる。そういえば、こういう公式だったなぁ、、、すっかり忘れてました…。