等差数列の和

仕事で必要になったので、久々に使ってみました。
（最終的にいらなくなったけど）

初項a、公差d、項数n の和を Snとすると、

  a1 = a
  a2 = a + d
  a3 = a + d + d
  a4 = a + d + d + d
  ...
  an = a + d + d + ... + d

なんで、総和Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an は、

  Sn =  a + (  a + d ) + (  a + 2d ) + (  a + 3d ) + ... + ( an - d ) + an

Snは、逆から足すと、

  Sn = an + ( an - d ) + ( an - 2d ) + ( an - 3d ) + ... + (  a + d ) +  a

でもあるので、これらを足すと、

  2Sn = ( a + an ) + ( a + an ) + ( a + an ) + ( a + an )
                          + ... * ( a + an ) + ( a + an )
     
      = n * ( a + an )
     
      = n * { a + a + ( n - 1 ) * d }
     
      = n * { 2a + ( n - 1 ) * d }

よって、

  Sn = n * { 2a + ( n - 1 ) * d } / 2

となる。そういえば、こういう公式だったなぁ、、、すっかり忘れてました...。